Aspectos numéricos dos modelos de simulação

Uma permanente fonte de erro dos modelos, que resolvem equações diferenciais por métodos numéricos, está relacionado a discretização temporal e espacial. Estas discretizações geralmente ocorrem com base na expansão de Taylor por métodos denominados de: explícitos e implícitos.

Os métodos explícitos utilizam informações no tempo anterior (t) para determinar a variável no tempo futuro, enquanto que os métodos implícitos utilizam informações do passado (t) e presente (t+dt) para estimar a variável no futuro (figuras 1). Os métodos implícitos necessitam de resolver um sistema de equações para cada intervalo de tempo. Quando o sistema de equações aumenta no tempo (muitos intervalos) e no espaço (muitos locais) o problema pode ter dimensões computacionais importantes, apesar dos métodos implícitos permitirem intervalos de tempo maiores (da ordem de minutos ou horas) que os métodos explícitos. De outro lado, os métodos explícitos são computacionalmente simples, pode-se utilizar processamento paralelo, mas o intervalo de tempo tem que ser muito pequeno (da ordem do segundo).

Existem vários arranjos para solução numérica que tendem a variar com a magnitude do problema e da disponibilidade de máquina. A limitação dos métodos explícitos é a instabilidade numérica, que gera valores absurdos (figura 2). Por exemplo, uma das razões para o parâmetro Θ ≤ 0,5 do Método de Muskingun para propagação em rios é devido a estabilidade numérica.

Além da estabilidade numérica, é necessário verificar a precisão numérica. A estabilidade está relacionada com o aumento do erro com a variação no tempo, chegando a valores absurdos. A precisão se refere ao erro numérico introduzido na solução. Normalmente os esquemas numéricos que tendem a maior estabilidade numérica podem apresentar menor precisão. A precisão numérica é geralmente avaliada por dois indicadores:

(a) amortecimento numérico R1 – é a diferença entre o valor máximo da variável numérica e verdadeira (nível, vazão, ou outra);

(b) dispresão, R2 – é a diferença de velocidade.

Estes indicadores variam de acordo com o Comprimento (L) de onda e a discretização (dx) pelo fator L/Dx e de acordo com o número C.Dt/Dx como mostram as figuras abaixo para um esquema numérico.

Quando se utiliza um Dx muito grande o fato L/Dx diminui e reduz a precisão, da mesma forma quando aumento c.Dt/Dx. Quando se simula rios com seções espaçadas acima de 5 km este erro tende a aumentar e distorcer os resultados. Mais grave quando o gradiente de escoamento é alto como no caso de rompimento de barragem, pois L diminui muito com aumento de C. Isto tende a produzir amortecimento na solução (figura 3 e 4).

A simulação de qualidade da água ou de sedimentos também sofre muito com o erro numérico, principalmente quando o gradiente de concentração é alto (por exemplo, junto a emissão de alta concentração), produzindo valores menores das concentrações. Os pacotes disponíveis para simulação encontradas na internet e mesmo os comerciais geralmente não alertam para estes tipos de problemas e nem sempre controlam internamente este tipo de erro, gerando valores errados. Portando, deve-se ter cuidado no uso de ferramentas onde se desconhece a discretização e mesmo os artifícios internos do programa para controlar estas situações.

Um dos softwares abertos que sofre muito com instabilidade numérica é o SWWM (simula escoamento e qualidade da água em rios urbanos) que utiliza método explícito para solução das equações de escoamento. O HEC-HAS utiliza um método implícito, no entanto deve-se cuidar quanto a discretização ou espaçamento entre seções. Caso não disponha de seções é sempre melhor interpolar do que usar trechos muito longos que tendem a amortecer a solução.

Não existe metodologia analítica para examinar a precisão e instabilidade de equações diferenciais não-lineares (geralmente utilizada em hidráulica e qualidade da água), todas as estimativas são realizadas por soluções linearizadas que permite uma boa estimativa. Quando não se dispõe de funções desenvolvidas para a discretização numérica do modelo, uma alternativa é diminuir Dx e Dt da simulação e verificar como evolui a resposta do modelo para a mesma variável no mesmo local.

Para maiores detalhes veja: Modelos Hidrológicos, capítulo 2 C. E. M. Tucci ABRH 650p.

figura 1 esquemas numéricos

figura 2 instabilidade numérica

Figura 3 Fator R1 de amortecimento numérico para um esquema numérico (ver referência)

Figura 4 Fator R2 pde velocidade para um esquema numérico (ver referência)