Aspectos numéricos dos modelos hidrológicos

Os modelos matemáticos em hidrologia em hidráulica se tornaram populares e podem ser utilizados na forma de pacotes computacionais disponíveis na internet (sem custo ou pagos).

Esta forma de popularização das ferramentas matemáticas têm vantagens e desvantagens. A vantagem é facilitar o usuário na aplicação em problemas de recursos hídricos, simplesmente entrando com seus dados e obtendo respostas rápidas e gráficas de problemas hidrológicos e hidráulicos. O risco do uso de pacotes computacionais é do usuário fazer uso inadequado do modelo, principalmente na discretização temporal e espacial de sistemas hídricos.

Os modelos matemáticos desenvolvidos se baseiam na discretização de equações diferenciais ordinárias e parciais. Para isto são utilizados métodos numéricos que resolvem equações com base numa discretização temporal e espacial. A representação das equações diferenciais pode ser realizada por esquemas explícitos ou implícitos (quando se refere a discretização temporal). Os métodos explícitos são aqueles que usam valores do tempo anterior para resolver a incógnita no tempo futuro. Os esquemas implícitos são aqueles que usam informações no tempo anterior e futuro para determinar as incógnitas, resultando num sistema de equações para ser resolvido em cada intervalo de tempo (ver figura 1). Os métodos explícitos necessitam utilizar intervalo de tempo muito pequeno, enquanto que os métodos implícitos pode utilizar intervalo de tempo maior. Por exemplo, na solução de equações de Saint Venant para escoamento em rios, o intervalo de tempo de um método explícito é da ordem de alguns segundos ou no máximo 5 a 10 minutos, enquanto que métodos implícitos podem trabalhar com intervalos de uma a algumas horas. Isto ocorre porque os métodos explícitos podem produzir instabilidade numérica. A instabilidade numérica ocorre pelo aumento dos erros na medida em que os cálculos são realizados no tempo, levando a valores absurdos. A condição de Courant define as condições de discretização numérica de um método explícito e se baseia na velocidade e no intervalo de tempo. Um exemplo é a condição de que o valor de X <= 0,5 no Método Muskingun é decorrência da condição de estabilidade numérica do método utilizado na discretização da sua equação. O modelo SWWM utiliza um método explícito e calcula internamente o intervalo de tempo para simulação, mas deve ser utilizado com cuidado para evitar instabilidade. Além da estabilidade numérica existem outras condições necessárias a serem examinadas que são a convergência, consistência e precisão.

A convergência e consistência são condições que a discretização deve reproduzir a solução e a equação diferencial quando o intervalo de tempo e de discretização tendem a zero. Geralmente os métodos numéricos utilizados nos modelos atendem estas condições. No entanto, a precisão é um atributo que depende de como são adotados os intervalos de discretização espacial (além do temporal). Alguns pacotes computacionais controlam os erros de precisão internamente evitando que o usuário possa fazer bobagem (principalmente os pacotes pagos), mas a maioria depende do conhecimento do usuário, que na sua maioria não sabem destes problemas. Por exemplo, na discretização de modelos hidrodinâmicos em rios, mesmo com métodos implícitos deve-se evitar discretização com mais do que 5 km. Quando a discretização é maior o modelo tende a amortecer a solução e criar tendenciosidade na velocidade. Todo esquema numérico possui uma função que permite estimar a discretização temporal e espacial em função dos eventos simulados para evitar estes problemas.

A situação mais crítica é na simulação da equação de transporte utilizada para qualidade da água como modelos QUAL2E ou de sedimentos como no HEC-RAS. O erro de amortecimento da solução (concentração menor) quando o gradiente é alto ( na vizinhança dos efluentes) é grande se for realizada uma discretização inadequada tanto temporal como espacial. É importante o usuário dos modelos procurar compreender mais sobre as questões de discretização numérica no uso de pacotes computacionais. Isto é ainda mais importante no uso de modelos de duas ou três dimensões. Sempre desconfie dos resultados, principalmente quando é muito bom, pois perdemos a capacidade de julgamento.

Referência: Capítulo 2 do livro Modelos Hidrológicos de Carlos E. M. Tucci publicado pela ABRH e Editoria da UFRGS.